Hadamard spaces: rigidity and recognition theorems
Final Report Abstract
Affine Gebäude sind eine wichtige Klasse von nicht-positiv gekrümmten Räumen, die in verschiedenen Bereichen der Reinen Mathematik Anwendung finden. Sie wurden eingeführt, analog zu symmetrischen Räumen, um die Untergruppenstruktur halbeinfacher algebraischer Gruppen zu beschreiben. Ziel dieses Projektes war es, affine Gebäude zu charakterisieren und Starrheitssätze in der Klasse der nicht-positiv gekrümmten Räume zu beweisen.Die erzielten Ergebnisse sind zweierlei Natur: manche stehen in direktem Zusammenhang mit den im Antrag vorgeschlagenen Fragen und liefern eine gute Ausgangsbasis für weitere Forschung. Andere sind überraschende Anwendungen der Theorie sphärischer und affiner Gebäude, mit denen es uns gelang, Fragen aus anderen Gebieten zu beantworten. Die Arbeit an diesem Projekt hatte zunächst zum Ziel, Gebäude innerhalb der Klasse der CAT(0) Räume zu charakterisieren. Es stellte sich bald heraus, dass eine kombinatorische Charakterisierung dieser Krümmungseigenschaft in Dimension zwei, die sogenannte Systolizität von Simplizialkomplexes eingeführt von Januszkiewicz und Swiatkowski bzw. Haglund, relevant ist. Systolizität ist eine rein kombinatorische Definition von Krümmung, die wesentlich einfacher nachzuprüfen ist als die CAT(0) Bedingung mittels Vergleichsdreiecken im Sinne von Alexandrov. In Dimension zwei ist ein Simplizialkomplex genau dann CAT(0), wenn er systolisch ist. Gemeinsam mit Piotr Przytycki habe ich eine Methode eingeführt, mit der wir Davis-Realisierungen von Coxetercomplexen und Gebäuden systolifizieren können. Im nächsten Schritt sollte man Rangstarrheit für systolische Komplexe beweisen. Viele Beweise von Starrheitssätzen basieren auf einem guten Verständnis der Räume der Richtungen (oder Links) von Gebäuden beziehungsweise von ihren Rändern. Daher ist es wichtig, die lokale und globale Struktur von Gebäuden gut zu verstehen. Gemeinsam mit Curt Bennett und Koen Struyve konnten wir verschiedene äquivalente axomatische Charakterisierungen von (nicht-diskreten) affinen Gebäuden beweisen. Unsere Ergebnisse fanden bereits in Zusammenhang mit nicht-abelschen Hodge Strukturen Anwendung in einer Arbeit von Katzarkov, Noll, Pandit und Simpson. Ein Aspekt der Ergebnisse ist, dass die Retraktionen eines Gebäudes auf ein Apartment ein wichtiges Feature sind. Ein Beispiel, in dem die Retraktionen eine überraschende Anwendung zur Folge haben, ist die gemeinsame Arbeit mit Anne Thomas and Elisabeth Milicevic. Darin wenden wir Kombinatorik von Coxeterkomplexen (also Apartments), sowie Littelmannsche Wurzeloperatoren an, um Dimensionen und nicht-leer-sein von affinen Deligne-Lusztig Varietäten zu berechnen. Die Wurzeloperatoren sind, wie ich zeigen konnte, eindeutig durch Retraktionen des Gebäudes bestimmt.
Publications
- On axiomatic definitions of non-discrete affine buildings. Adv. Geom., 14(3):381–412, 2014. With an appendix by Koen Struyve
C. D. Bennett and P. N. Schwer
- Dimensions of affine Deligne-Lusztig varieties: a new approach via labeled folded alcove walks and root operators
E. Milićević, P. Schwer, and A. Thomas
- Epimorphisms of pseudo-quadratic polar spaces. J. Algebra, 430:238–259, 2015
P. Schwer and K. Struyve
(See online at https://doi.org/10.1016/j.jalgebra.2015.01.028) - Folding operators, root groups and retractions
P. Schwer
- Systolizing buildings. Groups Geom. Dyn., 10(1):241– 277, 2016
P. Przytycki and P. Schwer
(See online at https://doi.org/10.4171/GGD/349) - The 6-strand braid group is CAT(0). Geom. Dedicata, 182:263–286, 2016
T. Haettel, D. Kielak, and P. Schwer
(See online at https://doi.org/10.1007/s10711-015-0138-9)
