Geometry of Willmore surfaces in Riemannian manifolds and applications to General Relativity
Final Report Abstract
In diesem Projekt wurden verschiedene geometrische Variationsprobleme für Flächen Σ in Riemannschen Mannigfaltigkeiten (M, g) untersucht. Das Hauptaugenmerk lag auf der Willmore-Energie W(Σ) =1/2 ∫Σ H2dµ, der L2-Norm der mittleren Krümmung H = λ1 + λ2 von Σ und dem isoperimetrischen Problem, das Ränder Σ = ∂Ω betrachtet, deren Flächeninhalt area(Σ) minimal ist zu vorgegebenem Volumen vol(Ω). Zur Minimierung von W(Σ), auch unter der Nebenbedingung vorgeschriebenen Flächeninhalts, wurden zwei verschiedene Methoden verfolgt. Einerseits die direkte Methode der Variationsrechnung, bei der eine Minimalfolgen auf die Existenz einer Teilfolge hin untersucht wird. Mit T. Lamm wurde gezeigt, dass von Leon Simon entwickelte Methoden angepasst werden können, um Existenz und Regularität von Minimierern zu zeigen. Insgesamt folgt in einer kompakten Mannigfaltigkeit die Existenz einer glatten Familie von Flächen Σa mit area(Σa ) = a, so dass W(Σ a ) minimal unter der Flächeninhaltsnebenbedingung ist. Die Familie Σa konzentriert sich für a → 0 an einem Maximum der Skalarkrümmung von (M, g). De zweite Zugang zum Willmore-Funktional ist die Untersuchung des Gradientenflusses. Ein erstes Ergebnis zu diesem Fluss in Riemannschen Mannigfaltigkeiten ist eine Lebenszeitabschätzung f¨ur Lösungen des Flusses, die nur von der anfänglichen lokalen Konzentration der L2-Norm der zweiten Fundamentalform und der anfänglichen lokalen Konzentration des Flächeninhalts anhängt. Dies verallgemeinert eine entsprechende Lebenszeitabschätzung von E. Kuwert und R. Schätzle. Die Resultate in diesem Teilprojekt wurden zusammen mit G. Wheeler und V. Wheeler erzielt. Neu ist hierbei, dass die lokale Konzentration des Flächeninhalts berücksichtigt werden muss, damit Krümmungsabschätzungen möglich sind. Umgekehrt kann sich der Flächeninhalt nicht konzentrieren, solange die Krümmung kontrolliert ist. Diese beiden komplementären Beobachtungen lassen sich zu einer gemeinsamen Abschätzung kombinieren. Das dritte Ergebnis des Projekts, das in Zusammenarbeit mit M. Eichmair erzielt wurde, beschäftigt sich mit dem isoperimetrischen Problem, also der Suche nach derjenigen Oberfläche, die zu vorgegebenem Volumen den minimalen Flächeninhalt besitzt. Für jede Riemannsche Mannigfaltigkeit der Dimension n ≥ 3 die asymptotisch flach mit Geometrie asymptotisch zu Schwarzschild mit positiver Masse m > 0 ist, existiert eine Konstante V0 mit der folgenden Eigenschaft: Für jedes V ≥ V0 existiert eine Teilmenge ΩV mit vol(ΩV ) = V und area(∂ΩV) = inf{area(∂Ω) | Ω ⊂ M mit vol(Ω) = V}. Der Rand Σ V = ∂ΩV ist eine glatte Hyperfläche sphärischer Topologie, die für V → ∞ auf skalierungsinvariante Weise gegen die zentrierte Koordinatensphären Sr mit gleichem Volumen konvergieren (im Blow-Down mit normiertem Volumen). Ist auch die Krümmung von (M, g) asymptotisch zur Krümmung der Schwarzschild-Geometrie, so sind die ΩV eindeutig bestimmt und die ΣV bilden eine Blätterung des Komplements einer kompakten Teilmenge von M. Ist die Geometrie von M asymptotisch gerade, so konvergieren die Schwerpunkte der ΣV für V → ∞ gegen das Massenzentrum von (M, g). Dies ist das erste Eindeutigkeitsergebnis für isoperimetrische Flächen in nichtkompakten und nicht symmetrischen Mannigfaltigkeiten höherer Dimension.
Publications
- Minimizers of the Willmore functional with a small area constraint. Ann. Inst. H. Poincaré Anal. Non Linéaire, 30:497–518, 2013
T. Lamm and J. Metzger
- Unique isoperimetric foliations of asymptotically flat manifolds in all dimensions. Invent. Math., 194:591–630, 2013
M. Eichmair and J. Metzger
(See online at https://doi.org/10.1007/s00222-013-0452-5) - Willmore flow of surfaces in Riemannian spaces: Concentration-compactness. 2013
J. Metzger, G. Wheeler, and V. Wheeler
