Inverse Problems in Electrostatics and Electrodynamics
Final Report Abstract
Ziel der elektrischen Impedanztomographie ist die Rekonstruktion einer ortsabhängigen elektrischen Leitfähigkeit im Inneren eines beschränkten Gebiets aus Strom- und Spannungsmessungen auf dem Rand dieses Gebiets. Verschiedenste Anwendungen etwa aus der Geophysik, der Medizin oder dem Feld der nichtdestruktiven Prüfmethoden führen auf Fragestellungen dieses Typs. Es handelt sich dabei um sogenannte inverse Probleme, die äußerst schlecht gestellt sind, das heißt, dass numerische Lösungsverfahren sehr störungsanfallig auf Daten- und Modellreduktionsfehler reagieren. In diesem Projekt wird ein stochastisches inverses Anomaliedetektionsproblem betrachtet, ein unter anderem für Anwendungen in der Geophysik relevanter Spezialfall, der jedoch in der Literatur bislang nicht behandelt wurde. Wir untersuchen die Detektion einer parametrisierten, perfekt leitenden Anomalie in einem isotropen, stationären und ergodischen Zufallsfeld, dessen Realisierungen hochgradig heterogen sind. Unser Haupresultat besagt, dass das zugehörige stochastische Vorwärtsproblem stochastische Homogenisierung zulässt, also auf makroskopischen Skalen ein effektives Verhalten zeigt, welches durch ein deterministisches Vorwärtsproblem beschrieben werden kann. Der Beweis verwendet Verallgemeinerungen der klassischen Feynman-Kac Formeln zur Darstellung der Lösung des Vorwärtsproblems, welche wir mit Hilfe der Theorie der symmetrischen Dirichlet Formen beweisen. Darüberhinaus ist der Beweis konstruktiv und lässt sich unmittelbar in ein numerisches Verfahren zur Approximation der effektiven Leitfähigkeit umsetzen. Im Gegensatz zu klassischen numerischen Homogenisierungsverfahren, die eine Finite Elemente Diskretisierung eines sogenannten Hilfsproblems verwenden, basiert die von uns vorgeschlagene Methode auf der Mikroskalensimulation der zugrundeliegenden Diffusionsprozesse. Dies erweist sich als vorteilhaft sowohl im Fall dreidimensionaler Probleme, als auch im Fall irregulärer Leitfähigkeiten; zudem ist das resultierende numerische Verfahren inhärent parallel und somit hervorragend geeignet zur Implementierung auf modernen Vielprozessor-Architekturen. Wir liefern eine Konvergenzanalyse sowie numerische Resultate zur Evaluation unserer Methode. Schließlich entwickeln wir, zur Behandlung des inversen Problems, ein numerisches Verfahren aus der Klasse der Bayes’schen statistischen Inversionsverfahren. Diese Methode kombiniert die Verwendung der zuvor beschriebenen Approximation der effektiven Leitfähigkeit mit einem neuartigen Fehlermodell, welches den aus der Homogenisierung des Vorwärtsproblems resultierenden Modellreduktionsfehler berücksichtigt. Wir führen numerische Experimente zur Illustration der Realisierbarkeit unserer Methode durch.
Publications
- Anomaly Detection in Random Heterogeneous Media: Feynman-Kac Formulae, Stochastic Homogenization and Statistical Inversion, Dissertation, Johannes Gutenberg Universität Mainz (2014), 145 pages
M. Simon
(See online at https://doi.org/10.1007/978-3-658-10993-6) - Bayesian anomaly detection in heterogeneous media with applications to geophysical tomography, in: Inverse Problems (2014)
M. Simon
(See online at https://doi.org/10.1088/0266-5611/30/11/114013) - From Feynman-Kac formulae to numerical stochastic homogenization in electrical impedance tomography. - Ann. Appl. Probab., Volume 26, Number 5 (2016), 3001-3043
P. Piiroinen and M. Simon
(See online at https://doi.org/10.1214/15-AAP1168)
