Anwendung homotopietheoretischer Methoden in der algebraischen Geometrie mit Hilfe verallgemeinerter Deligne-Beilinson-Kohomologie und Kobordismus

• Antragsteller: Dr. Gereon Quick
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung von 2010 bis 2012
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 185271138

Differentielle Kohomologiegruppen von Cheeger und Simons für glatte reelle Mannigfaltigkeiten verknüpfen die geometrische Information von reellen Differentialformen mit der globalen topologischen Information ganzzahliger Kohomologie. Hopkins und Singer haben durch eine neue Sichtweise eine Methode entwickelt, um für jede Kohomologietheorie, gegeben durch ein topologisches Spektrum, eine verallgemeinerte differentielle Kohomologietheorie zu konstruieren. Beispiele dafür sind differentielle K-Theorie oder differentieller reeller Bordismus. Für komplexe algebraische Varietäten verbindet Deligne-Beilinson-Kohomologie die geometrische Information holomorpher Differentialformen mit der globalen topologischen Information ganzzahliger Kohomologie. Die grundlegende Idee meines gemeinsamen Projektes mit Michael Hopkins ist es, verallgemeinerte analytische Deligne-Beilinson-Kohomologietheorien für komplexe algebraische Varietäten zu entwickeln. Insbesondere möchten wir einen verallgemeinerten analytischen Kobordismus konstruieren. Das Ziel des Vorhabens besteht darin, die Zykelabbildung für komplexe Varietäten von ganzzahligen Chow-Gruppen in einen Quotienten des komplexen Kobordismus der zugehörigen komplexen Mannigfaltigkeit, die Totaro entwickelt hat, für den neuen verallgemeinerten analytischen Kobordismus zu konstruieren. Darüber hinaus hoffen wir, eine verallgemeinerte Abel-Jacobi-Abbildung zu erhalten, mit deren Hilfe wir neue Einblicke über die klassische und über die morphische Abel-Jacobi-Abbildung von Walker zu gewinnen hoffen. Dies steht in engem Zusammenhang mit meinem bisherigen Vorhaben, die l-adisch ganzzahlige Zykelabbildung für Varietäten über endlichen Körpern mit Hilfe der Zykelabbildung in etalen Kobordismus zu untersuchen.

• DFG-Verfahren: Forschungsstipendien
• Internationaler Bezug: USA
• Gastgeber: Professor Dr. Michael J. Hopkins