Gleichgewichtsmannigfaltigkeiten in Dynamischen Systemen und Verzweigungen ohne Parameter
Zusammenfassung der Projektergebnisse
In generischen dynamischen Systemen sind Gleichgewichte an isolierten Punkten zu erwarten, mitunter zu Mannigfaltigkeiten fortgesetzt durch Parameter oder Erhaltungsgrößen. Ohne eine durch Parameter oder Erhaltungsgrößen verursachte Faserung des Phasenraumes in Niveauflächen erscheinen Gleichgewichtsmannigfaltigkeiten zunächst als eine degenerierte Struktur, die jedoch in vielen Problemen unterschiedlicher Herkunft auftaucht, so z.B. in Netzwerken gekoppelter Oszillatoren, hyperbolischen Bilanzgleichungen, numerischen Diskretisierungen, Populationsmodellen, kosmologischen Modellen und hydrodynamischen Stömungen. Von besonderem Interesse sind dabei Punkte in denen sich die Stabilität der Gleichgewichtsmannigfaltigkeit ändert, da an diesen Punkten Familien nichttrivialer Lösungen von der Gleichgewichtsmannigfaltigkeit „abzweigen". Anlehnend an klassische, parameterabhängige, Theorie nennen wir eine solche Situation Verzweigung ohne Parameter. Im Projekt wurden einerseits in einem abstrakten Zugang eine allgemeine Klasse solcher Verzweigungen ohne Parameter untersucht und in Verbindung mit Ergebnissen der Singularitätentheorie eine allgemeine Beschreibung erreicht. Andererseits wurde in einem Strömungsproblem nichtkompressibler Flüssigkeiten in einem Kanal eine Gleichgewichtsmannigfaltigkeit und eine Verzweigung ohne Parameter gefunden und analysiert. Dazu wurde eine reduzierte Gleichung auf einer Zentrumsmannigfaltigkeit analytisch berechnet. Besonderes Augenmerk lag auf Ausnutzung der Symmetrien und Erhaltungsgrößen des Systems, die das Auftreten der Gleichgewichtsmannigfaltigkeit im allgemeinen Fall nicht erzwingen, so dass die gefundene Verzweigung tatsächlich eine „ohne" Parameter ist.
