Mass Transport Models on Networks
Final Report Abstract
Auch in genetischen Systemen können Oszillationen auftreten, die ausschließlich durch die Fluktuationen in der Zahl der Proteine und Gene hervorgerufen werden. Dadurch vergrößert sich effektiv der Parameterbereich, für den man Oszillationen beobachten kann. Somit stellt sich die interessante Frage, welche experimentell beobachteten Oszillationen in genetischen Systemen ausschließlich auf Fluktuationen zurückzuführen sind und welche räumlichen Muster ebenso. Das von uns betrachtete Motiv der BFU wird zwar in vielen biologischen Realisierungen gefunden, aber seine Dynamik ist nicht universell, sondern hängt von vermeintlich kleinen Details wie internen Zeitskalen in Form von Reaktionsraten, dem Grad der Nicht-Linearität oder der konkreten Realisierung des negativen Feedback-Loops ab. Mögliche Anwendungen dieses Motivs liegen im genetischen oszillatorischen Netzwerk der Segmentationsuhr (“segmentation clock”), die in der embryonalen Entwicklung gewisser Lebewesen eine entscheidende Rolle in der Morphogenese spielt, oder in der zirkadianischen Uhr, für die unser Motiv vielleicht die einfachste effektive Beschreibung liefert. Der Vergleich von deterministischer und stochastischer Beschreibung an Hand dieses dynamischen Systems hat die Grenzen von deterministischer Beschreibung aufgezeigt und den wesentlichen Einfluss von stochastischen Fluktuationen nicht nur auf quantitatives, sondern auch auf qualitatives dynamisches Verhalten verdeutlicht. Nicht nur die Anzahl, sondern auch die Art der stationären Zustände eines Systems können sich durch stochastische Fluktuationen ändern. Kondensationsprozesse und ihre Phänomene treten in einer großen Bandbreite physikalischer Phänomene auf allen Längenskalen auf und werden darüber hinaus auch in Modellen abseits der Physik beobachtet. Für die Untersuchung grundlegender Eigenschaften solcher allgemeiner Kondensationsprozesse bieten sich unter anderem stochastische Transportprozesse durch ihre große Vielseitigkeit und einfache Struktur an. So wird für geeignete Dynamik beim “Zero-Range”-Prozess (ZRP) oberhalb einer kritischen Dichte die Bildung eines auf einem Gitterknoten lokalisierten Kondensates aus den überschüssigen Teilchen beobachtet. Eine Erweiterung um kurzreichweitige Wechselwirkungen führt zum “Pair-Factorised Steady States” (PFSS) Modell, bei dem sich auf dem Gitter ausgedehnte Kondensate beobachten lassen, wobei die mathematische Struktur und das grundlegende Verhalten ähnlich bleibt. Wir untersuchen systematisch Eigenschaften des Kondensationsprozesses sowie des kondensierten stationären Zustands im PFSS-Modell und schaffen dabei einen Vergleich mit bekannten oder von uns ermittelten Resultaten für den ZRP. Insbesondere betrachten wir stationäre Eigenschaften des Kondensates für abstimmbare Wechselwirkungen, die unter anderem den ZRP näherungsweise umfassen sowie die Untersuchung rechteckförmiger als auch glatter Kondensate ermöglichen. Weiterhin untersuchen wir das Skalenverhalten der Dauer von Nukleation und Coarsening, Teilprozesse der Kondensation, und diskutieren ihre Abgrenzung. In Systemen mit Teilchenaustausch durch offene Ränder betrachten wir Auswirkungen der konkreten Wechselwirkungen von Teilchen und Rand und diskutieren die dabei entstehenden Phasendiagramme. In einem vereinfachten PFSS-Modell für das Wachstum dünner Schichten und Strukturen diskutieren wir sowohl analytische Ergebnisse stationärer Eigenschaften als auch heterogenes Strukturwachstum in einem anhaltenden Kondensationsprozess durch konstantes Einführen neuer Teilchen in das System.
Publications
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B. Waclaw, J. Sopik, W. Janke und H. Meyer-Ortmanns
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