Hausdorffmaß in der Komplexen Dynamik

• Antragsteller: Professor Dr. Walter Bergweiler
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung von 2009 bis 2013
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 147784873

• Erstellungsjahr: 2012

Zusammenfassung der Projektergebnisse

Die Computergraphiken von Juliamengen und anderen in der Komplexen Dynamik auftretenden Mengen sind auch für Nichtmathematiker faszinierend. Der anschauliche Dimensionsbegriff (Kurven sind eindimensional, Flächen zweidimensional) ist zur Beschreibung der Größe dieser „fraktalen” Mengen ungeeignet. Tatsachlich ist die sogenannte Hausdorffdimension oft nicht ganzzahlig (daher der Name ,,fraktal”). Auch wenn etwa die Hausdorffdimension 2 ist, kann der Flächeninhalt Null sein. Dies gilt etwa für Juliamenge gewisser Exponentialfunktionen. In anderen Fällen hat die sogenannte entkommende Menge, die in der Komplexen Dynamik ebenfalls von großer Bedeutung ist, die Hausdorffdimension 1, aber sie hat keine endliche Länge (und auch keine σ-endliche Länge). Ziel des Forschungsvorhabens war, diese Resultate durch Betrachtung des Hausdorffmaßes bezüglich geeigneter Maßfunktionen zu präzisieren und besser zu verstehen. Das Hausdorffmaß kann dabei als Verfeinerung des Dimensionsbegriffs verstanden werden. Außerdem sollten nicht nur Exponentialfunktionen, sondern möglichst allgemeine Funktionenklassen untersucht werden. Diese Ziele wurden weitgehend erreicht. Beim erstgenannten Problem lasst sich eine sehr präzise Beschreibung der „Größe“ der Juliamenge und der entkommenden Menge für eine große Funktionenklasse gewinnen. Es müssen nur zwei recht natürliche Bedingungen gestellt werden: Die Funktionen müssen in der Eremenko-Lyubich-Klasse sein und endliche Wachstumsordnung haben. Auch beim zweiten Problem lassen sich genaue Bedingungen für die Maßfunktionen angeben, unter denen das Hausdorffmaß 0 bzw. ∞ ist. Hier ergibt sich ein Zusammenhang zwischen der Geschwindigkeit, mit der Punkte unter Iteration entkommen, und dem Hausdorffmaß der entsprechenden Teilmenge der entkommenden Menge.

Projektbezogene Publikationen (Auswahl)

• Escape rate and Hausdorff measure for entire functions. Math. Z.
  W. Bergweiler und J. Peter,
  (Siehe online unter https://doi.org/10.1007/s00209-012-1085-x)
• Hausdorff measure of escaping and Julia sets for bounded type functions of finite order. Ergodic Theory Dynam. System
  J. Peter
  (Siehe online unter https://doi.org/10.1017/S0143385711000745)
• On the configuration of Herman rings of transcendental meromorphic functions. J. Math. Anal. Appl. 394 (2012), 458–467
  N. Fagella und J. Peter
  
• Poincaré functions with spiders’ webs. Proc. Amer. Math. Soc. 140 (2012), 3193–3205
  H. Mihaljević-Brandt und J. Peter