L2-Invariante von Gruppen

• Antragsteller: Professor Dr. Thomas Schick
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung von 2009 bis 2017
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 144856302

L2-Invarianten spielen eine wichtie Rolle in Geometrie und Topologie. Sie liefern insbesondere nützliche Verbindungen zwischen Fragestellungen aus so diversen Gebieten wie Algebra, Topologie und Differentialgeometrie. Man kann beispielsweise L2-Invarianten nutzen, um Fälle von Kaplanskys Nullteilervermutung für Gruppenringen torsionsfreier Gruppen zu beweisen, oder um Abschätzung für den Defekt diskreter Gruppen zu gebenDie feineren dieser Invarianten erlauben, die Geometrie nicht-kompakter Mannigfaltigkeiten in Termen topologischer Invarianten natürlich vorkommender Kompaktifizierungen auszudrücken, indem explizit L2-Invarianten berechnet werden. Hier gibt es allerdings nur wenige konkret berechnete Beispiele.Projektziele sind:*Relationen zwischen der Atiyah-Vermutung für den rationalen Gruppenring und den komplexen Gruppenring* Approximationssätze für das L2-Spektrum von Elementen des komplexen Gruppenrings* Bestimmung der möglichen Werte von L2-Bettizahlen, insbesondere in Bezug auf Berechenbarkeitsfragen und Turing-Maschinenen* Verallgemeinerte L2-Bettizahlen für Homologie mit endlichen Koeffizientenkörpern, insbesondere -Ganzzaligkeit und Beziehung zur Nullteilervermutung im Gruppenring für endliche Körperkoeffizienten - Definition und Eigenschaften für allgemeine (nicht-mittelbare) sofische Gruppen: (Un)abhängigkeit von sofischer Approximation - allgemeine Dimensionstheorie für die vorkommenden FG-Moduln - Konstruktion von Beispielen mit "exotischen", insbesondere transzendenten Werten* allgemeinere Berechnung von Novikov-Shubin-Invarianten und L2-Torsion für nicht-uniforme Gitter in halbeinfachen Liegruppen (unter Nutzung des Bezugs zwischen Borel-Serre Kompaktifizierung und Geometrie des zugehörigen lokalsymmetrischen Raums)

• DFG-Verfahren: Sachbeihilfen