Polyhedral models of representations
Final Report Abstract
In dem Projekt wurden Verbindungen zwischen der Darstellungstheorie von Liegruppen und der Geometrie von Polyedern untersucht. Darüber hinaus wurden Aspekte der Geometrie von Polyedern betrachtet, bei denen mögliche Anwendungen in der Darstellungstheorie wahrscheinlich erscheinen, sowie einige darstellungstheoretische Resultate ohne Bezug zu Poledern erzielt. Im Einzelnen: • Es wurde ein Algorithmus zur Berechnung der erzeugenden Funktionen gewisser Mehrparameterfamilien von Polytopen untersucht. Eine vollständige Klärung aller offenen Fragen wurde nicht erreicht, jedoch wurden wesentliche Fortschritte hin zu einem zur Implementation hinreichenden Verständnis des Algorithmus erzielt. Der genannte Algorithmus ergänzt bekannte Verfahren. Das zugrundeliegende Problem ist für mehrere Fragen der Darstellungstheorie relevant, etwa die mehrparametrische Bestimmung von Gewichtsvielfachheiten sowie von Vielfachheiten, die bei der Zerlegung von Tensorpotenzen auftreten. • Es wurden erste, grundlegende Ergebnisse zur statistischen Verteilung von Gewichten in Demazuremoduln erzielt. Demazuremoduln sind wichtige endlichdimensionale Darstellungen affiner Liealgebren, die als Ausschöpfungen der unendlichdimensionalen integrierbaren Höchstgewichtsdarslellungen auftreten. Die erzielten Ergebnisse versprechen weitere Verallgemeinerungen und Anwendungen in der mathematischen Physik. • Ein Zusammenhang zweier wichtiger kanonischer Familien von Basen irreduzibler Darstellungen halbeinfacher Liealgebren wurde mithilfe von polyedrischer Geometrie erklärt. Während die erste Familie ein klassischer Gegenstand der Forschung ist, wurde die zweite erst in den letzten Jahren postuliert und erst in diesem Jahr zum ersten Mal in einem allgemeinen Fall beschrieben. Die hier erzielten Ergebnisse lassen Anwendungen auf ihre Konstruktion in weiteren wichtigen Fällen erwarten. • Es wurden explizite Formeln für die erzeugenden Funktionen von weylgruppeninvarianten Kegeln aufgestellt. Diese lassen Anwendungen auf klassische kombinatorische Fragestellungen erhoffen. Anwendungen in der Darstellungstheorie sind wahrscheinlich, allerdings zur Zeit nicht in Sicht.
