weak Maaß Forms

• Applicant: Professor Dr. Jan Hendrik Bruinier
• Subject Area: Mathematics
• Term: from 2009 to 2013
• Project identifier: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Project number 120176590

• Final Report Year: 2014

Final Report Abstract

Elliptische Modulformen spielen eine wichtige Rolle in der Zahlentheorie und Arithmetik, zum Beispiel in der Theorie der quadratischen Formen und beim Studium von elliptischen Kurven. Hans Maaß entdeckte, dass es neben den holomorphen auch reell differenzierbare Modulformen gibt, die Eigenfunktionen des hyperbolischen Laplace-Operators sind. Es hat sich herausgestellt, dass diese Maaß’schen Wellenformen für das Verständnis der Spektralund Darstellungstheorie der Gruppe SL2 von fundamentaler Bedeutung sind. Schwache Maaß-Formen sind eine Verallgemeinerung der klassischen Maaß-Formen, bei der man Singularitäten in den Spitzen zulässt. In den letzten Jahren sind sie in der Analysis, Kombinatorik und Arithmetik verstärkt untersucht worden. Im diesem Projekt wurden zum einen die arithmetischen Eigenschaften der Fourier-Koeffizienten von harmonischen schwachen Maaß-Formen studiert und neue Beziehungen zu Perioden von algebraischen Differentialen auf Modulkurven entdeckt. Zum anderen wurden durch regularisierte Theta-Liftungen Green-Funktionen und arithmetische Zykel auf Shimura-Varietäten konstruiert. Es wurden neue Formeln für CM-Werte der Green-Funktionen und Höhenpaarungen der arithmetischen Zykel gefunden, die wichtige Ergebnisse von Gross und Zagier verallgemeinern.

Publications

• Computation of harmonic weak Maass forms, Exo perimental Mathematics 21:2 (2012), 117–131
  J. H. Bruinier and F. Strömberg
  
• Regularized theta lifts for orthogonal groups over totally real fields, J. Reine Angew. Math. 672 (2012), 177–222
  J. H. Bruinier
  (See online at https://doi.org/10.1515/CRELLE.2011.163)
• Special values of Green functions at big CM points, Int. Math. Res. Not. 2012:9 (2012), 1917–1967
  J.H. Bruinier, S. Kudla and T. Yang
  (See online at https://doi.org/10.1093/imrn/rnr095)
• Algebraic formulas for the coefficients of half-integral weight harmonic weak Maass forms, Advances in Mathematics 246 (2013), 198–219
  J. H. Bruinier and K. Ono
  (See online at https://doi.org/10.1016/j.aim.2013.05.028)
• CM values of regularized theta lifts, Dissertation, Technische Universität Darmstadt (2013)
  S. Ehlen
  
• Harmonic Maass forms and periods, Math. Ann. 357 (2013), 1363– 1387
  J.H. Bruinier
  
• Twisted traces of CM-values of weak Maass forms, J. Number Theory 133 (2013), 1827–1845
  C. Alfes and S. Ehlen
  (See online at https://doi.org/10.1016/j.jnt.2012.10.008)
• Borcherds Products on Unitary Groups, Mathematische Annalen 358 (2014), 799–832
  E. Hofmann
  (See online at https://doi.org/10.1007/s00208-013-0966-6)
• Formulas for the coefficients of half-integral weight harmonic Maass forms, Mathematische Zeitschrift 227 (2014), 769–795
  C. Alfes
  (See online at https://doi.org/10.1007/s00209-014-1278-6)