Residuale Abhängigkeitsstrukturen von Extrema
Final Report Abstract
Unter einer wohlbekannten, schwachen Bedingung an die obere Flanke einer multivariaten Verteilungsfunktion H sind marginale Stichprobenmaxima asymptotisch unabhängig. Auch für große Stichprobenumfänge ist jedoch eine residuale Abhängigkeit zu verzeichnen. Es geht nun darum, Strukturen hierfür herauszuarbeiten und zu untersuchen. Zuerst soll das zentrale Ergebnis des Projekts in einer griffigen, aber hinreichend allgemeinen Form, angedeutet werden: Eine bivariate VerteilungsfunktionH mit Träger in (−∞, 0]2 lässt sich durch eine Schar von 1-dimensionalen Verteilungsfunktionen Hz (c) = H(c(z, 1 − z)), c ≤ 0, mit z ∈ [0, 1] darstellen. An die Dichten hz von Hz wird in Abhängigkeit vom Stichprobenumfang n und einer Verteilungsfunktion F eine Bedingung gefunden, unter der sich als Limesverteilung von Maxima im Dreiecksschema die max-stabile Verteilungsfunktion der Form G(x, y) = exp (xF (λA (x/(x + y)) + yF (λA(y/(x+y))) ergibt. Durch die Bildung eines Dreiecksschemas weist also die Limesverteilung von Maxima eine Abhängigkeitsstruktur auf, auch wenn die ursprünglichen marginalen Maxima asymptotisch unabhängig sind. Unter der Normalverteilungen H ist F = Φ - die univariate Standardnormalverteilungsfunktion - was zu einem wohlbekannten Spezialfall führt. Neben Maxima werden ebenfalls Exzedenten über hohen Schranken betrachtet. Eine Fragestellung bezieht sich auf die Übertragung von Resultaten der Diskriminanzanalyse im abgeschnittenen Normalverteilungsmodell auf das Limesmodell für Exzedenten, was durch verallgemeinerte Pareto-Verteilungen gegeben ist. Ein weiteres wichtiges, anwendungsrelevantes Resultat - liegt jedoch nur im univariaten Fall vor - betrifft die Prognose der Flanke einer bedingten Verteilung, die durch eine verallgemeinerte Pareto-Verteilung gegeben ist. Im Unterschied zu der gängigen Literatur wird der Exzedentenprozess bedingt nach dem Prozess der kovariaten Information und ein Maximum Likelihood Schätzer im bedingten Model berechnet. Residuale Abhängigkeit von marginalen Maxima im Normalverteilungsmodel wird ebenfalls dargestellt durch asymptotische Entwicklungen, die durch (penultimate) Verteilungen der Form Gn (x, y) - wie oben angegeben - approximiert werden. Eine Verallgemeinerung scheint möglich zu sein und wird noch angestrebt.
Publications
- Limiting distributions of maxima under triangular schemes, J. Mult. Analysis 101, 2346-2357 (2010)
R.-D. Reiß, M. Frick
- Conditioning exceedances on covariate processes, Extremes 14, 451-471 (2011).
R.-D. Reiß, U. Cormann
- Some notes on extremal discriminant analysis, J. Mult. Analysis 103, 107-115 (2012)
R.-D. Reiß, B. G. Manjunath B.G., M. Frick
(See online at https://doi.org/10.1016/j.jmva.2011.06.012)
