Analytische und numerische Methoden für Modellierung der Phasentrennung

• Applicant: Professor Dr. Peter Takác
• Subject Area: Mathematics
• Term: from 2009 to 2010
• Project identifier: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Project number 111677924

• Final Report Year: 2010

Final Report Abstract

Das Forschungsprojekt hat sich, von der mathematischen Seite her, mit der Entwicklung und den Anwendungen der modernen Funktionalanalysis, Variationsrechnung, partieller Differentialgleichungen und dynamischer Systeme auf das allgemein anerkannte mathematische “Cahnu Hilliard-Modell” für Phasentrennung bei kritischer Temperatur befaßt. Das Projektziel war eine möglichst genaue Beschreibung von Teilgebieten mit nur einer der zwei Phasen und der Musterbildung in einem Material mit zwei Phasen mittels vor allem analytischer aber auch numerischer Methoden. Diese Forschungsprobleme wurden während des IMA Thematic Year on Mathematics and Chemistry an der University of Minnesota, Minneapolis, U.S.A., behandelt. Die Forschung des Projektleiters hat sich vor allem auf die Bildung von Teilgebieten mit nur einer der zwei Phasen konzentriert. Dafür wurden geeignete analytische Methoden für die Existenz, Nichteindeutigkeit und Regularität der schwachen Lösungen entwickelt. Räumlich periodische und aperiodische Musterbildung ist sowohl analytisch (in Raumdimension Eins und für kugelsymmetrische Lösungen) als auch mittels numerischer Methoden nachgewiesen worden. Der wichtigste Vorteil dieser neuen Methoden ist, daß sie auf eine sehr breite Klasse von singulären o oder degenerierten elliptischen partiellen Differentialgleichungen angewendet werden können, wie z.B. “doubly nonlinear, singular or degenerate elliptic problems”, welche bei zahlreichen Untersuchungen von verschiedenen Materialien vorkommen. Sie beruhen auf den modernsten Ergebnissen (aus den letzten fünf Jahren) über mehrere Arten der starken Maximum- und Vergleichsprinzipien für quasilineare partielle Differentialgleichungen und der Identität von “Pohozhaev-Pucci-Serrin”. Diese Identität gewährleistet wichtige Aussagen uber Nichtexistenz bestimmter Lösungen.

Publications

• Stationary radial solutions for a quasilinear Cahn-Hilliard model in N space dimensions, Electr. J. Differential Equations, Conf. 17 (2009), 227–254. In Proceedings of the “ Seventh Mississippi State - UAB Conference on Differential Equations and Computational Simulations”, November 1 – 3, 2007, Birmingham, Alabama, U.S.A.
  P. Takac
  
• Intrinsic ultracontractivity of a Schr¨dinger semigroup in RN , J. Funct. Anal., 256 (2009), 4095–4127
  B. Alziary and P. Takac
  (See online at https://dx.doi.org/10.1016/j.jfa.2009.02.013)
• Manifolds of critical points in a quasilinear model for phase transitions, In “Nonlinear Elliptic Partial Differential Equations”, Proceedings of the 2009 “International Workshop in Nonlinear Elliptic PDEs,” A celebration of Jean-Pierre Gossez’s 65-th birthday, September 2–4, 2009, Brussels, Belgium
  P. Drabek, R. F. Manasevich, and P. Takac
  
• An antimaximum principle for a degenerate parabolic problem, Advances in Differential Equations, 15(7–8) (2010), 601–648
  J. F. Padial, L. Tello, and P. Takac
  
• Minimization of eigenvalues for a quasilinear elliptic Neumann problem with indefinite weight, J. Math. Anal. Appl. (2010)
  A. Derlet, J.-P. Gossez, and P. Takac
  (See online at https://doi.org/10.1016/j.jmaa.2010.03.068)
• On the Fredholm alternative for the p-Laplacian at higher eigenvalues (in one dimension), Nonlinear Analysis, T.M.A., 72(6) (2010), 3091–3107
  J. Benedikt, P. Girg, and P. Takac
  
• On variational eigenvalues of the p-Laplacian which are not of Ljusternik-Schnirelmann-type, J. London Math. Society (2010)
  P. Drabek and P. Takac
  (See online at https://doi.org/10.1112/jlms/jdq006)